LA OTRA EUROPA: POETAS DE EUROPA ORIENTAL.
JAROSLAW IWASZKIEWICZ.
EL VIEJO POETA.
I
El poeta dice:
Mujer ¿No ves estas dos moscas inmóviles
Sobre la repisa de la ventana
Matadas con el insecticida?
No valen mas para el universo
Que nuestros queridos perros
Muertos que yacen bajo esta piedra.
¿Recuerdas la palabra “Tropka”
Cuando le decíamos algo
Y el no entendía
Arrugaba la frente, se concentraba
Y no entendía?
Era un animal
Mira, nos hablan nubes
Auroras estrellas
Vientos
Y tampoco entendemos
Nos hablan espacios celestes
Árboles que florecen
Hablan flores
Crecen
Y hablan
Y no entendemos
Así será
Nos quedaremos en el universo
Cual dos moscas muertas
Dos perros tirados
Cual dos puras nadas
Ellos también amaban
Y querían entender
TADEUS ROZEWICZ
LA ESPINA.
No creo
No creo desde que abro los ojos
Hasta cerrarlos
No creo desde una orilla
Hasta la otra
De mi vida
No creo
Con la misma profundidad
Con que mi madre
Creía
No creo
Al comer pan
Al beber agua
Al amar un cuerpo
No creo
En sus templos
En sus curas en sus signos
No creo
Al pasar por la calle de una ciudad
Por el campo
Bajo la lluvia en el aire
Dentro del resplandor
De la anunciación
Leo las parábolas
Rectas como la espiga del trigo
Y evoco a un dios
Que no sabía reír
Pienso en un dios
Pequeño y sangrante
Que yace
En los blancos lienzos de la infancia
Pienso
En una espina que desgarra
Nuestros ojos nuestras bocas
Ahora
Y en la hora de la muerte
CUENTOS SOBRE LAS VIEJAS FEAS.
Me gustan las viejas
Las viejas feas
Malignas
Ellas: sal de la tierra
No les da asco la basura
Humana
Son ellas que conocen el revés
De la medalla
Del amor
De la fe
Las viejas
Vienen y van
Mientras los dictadores
Se hacen los graciosos
Mostrando sus manos en sangre
Las viejas feas se levantan
Junto con el sol
Compran carne frutas pan
Lavan hacen la cocina
Se quedan en las calles
Con los brazos cruzados
Y se callan
Las viejas
Son inmortales
Hamlet se agita dentro de su red
Fausto hace un juego vil y ridículo
Raskolnikov vate con su hacha
Las viejas son
Irrebatibles
Sonríen levemente
Muere el dios
Las viejas se levantan sin hacerle caso
Cada día
Compran pan vino pescado
Se muere la civilización
Las viejas se levantan junto con el sol
Abren las ventanas
Tiran la basura
Se muere el hombre
Las viejas
Lavan al difunto
Entierran a sus muertos
Siembran flores
Sobre sus tumbas
Me gustan las viejas
Las viejas feas
Malignas
STANISLAW GROCHOWIAK
LA SEPARACIÓN.
Debe haber una media noche
Que ya no veré,
La media noche del mundo
Y la de veinticuatro horas.
El tiempo y el espacio hilvanados
Con la única estrella,
Bajo la cual tan solo
Ha nacido la muerte.
El olor de la media noche yace
En los oídos de los muertos,
En las narices de perros pasmados,
En el sinfín de la nieve
Y en las medallas de porcelana
Por las que se asoman los niños,
Quietos al fin.
El sabor de la media noche pegado
A la mano aquella.
Cuando la toque sabía a hierro
Bajo un soplo de frió.
Desde entonces huyo a media lengua,
Desde entonces
Balbuceo.
MIRON BIALOSZEWSKI
AUTORRETRATO VIVIDO.
Me miran.
Quiere decir que tengo cara.
De todos los rostros que conozco
Del que menos me acuerdo es del mío.
A veces mis manos
Viven sin comunicarse
¿Tal vez sea mejor no sumarlas?
¿Dónde están mis límites?
Pues lo que me enerva
Es el moverme o vivir a medias.
Sin embargo siempre
Se arrastra en mí
Diminuto o lleno
Un atisbo del ser.
Cargándome
Cargo un espacio
Propio a mí.
Si lo pierdo
Significara que no existo.
No existo
Ergo no dudo.
ATTILA JÓZSEF
MAMÁ.
Desde hace una semana, en mi mamá
Solo pienso, abstraído; en mi mamá.
Con la chirriante cesta a la cintura,
Iba siempre al desván en su premura.
Yo era un hombre sincero todavía:
Chillaba, pataleaba. Le decía:
Deja para otro ese pesado y gran
Bulto, mi madre, y llévame al desván.
Sola se iba a tender, calladamente,
Sin regañarme, sin mirarme, ausente.
Y las ropas crujían, luminosas,
Revoloteando en lo alto, jubilosas.
Aunque para llorar es tarde ya,
Se cuan inmensa eres, mi mamá.
Flota en lo alto su agrisado pelo
Y echa su añil en el agua del cielo.
CZESLAW MILOZ
LA HUIDA.
Cuando nos escapábamos de la ciudad incendiada,
En el primer camino campestre volviendo atrás la mirada,
Decía yo: “Que la hierba cubra nuestras huellas,
Que en las llamas se callen los gritos de profetas,
Que los muertos a los muertos cuenten lo sucedido,
A nosotros nos toco crear una generación nueva y violenta,
Libre del mal y de la desdicha que ahí ha existido.
Sigamos.” Y la espada de fuego nos abría la tierra.
DEBE, NO DEBE.
El hombre no debe amar la luna.
El hacha en su mano no tiene que perder su peso.
Sus huertas deben oler a manzanas pudriéndose
Y llenar de ortigas, moderadamente.
El hombre que habla no debe usar palabras que le son queridas
Ni romper la semilla para ver que hay adentro.
No debe tirar la migaja del pan, ni escupir al fuego
(Así por lo menos me enseñaron en Lituania)
Si por la escalera de mármol sube un villano
Que intente hacer con su zapato una rendija
Para advertir si la escalera no va a durar.
jueves, 29 de julio de 2010
EL RETORNO DE ZARATUSTRA
EL RETORNO DE ZARATUSTRA
HERMANN HESSE
SOBRE LA SOLEDAD.
Me preguntan, jóvenes, por la escuela del sufrimiento y por la forja del destino. ¿Es que no las conocen? No, ustedes, los que continuamente hablan del pueblo y están relacionados con las masas; ustedes, los que solo quieren padecer con ella y por ella, no la conocen. Les hablo de la soledad.
La soledad es el camino por donde el destino quiere conducir hacia si mismo al hombre. La soledad es el camino que mas teme el hombre por que allí se esconden todos los horrores, todas las serpientes y todos los sapos. Allí es donde acecha lo espantoso. ¿No corre la leyenda de que todos los solitarios, todos los exploradores del desierto de la soledad son personas desencaminadas, malas o enfermas? ¿No se narran todas las grandes heroicidades como si hubieran sido realizadas por delincuentes, por que conviene guardarse a si mismo del camino de semejantes acciones?
¿No se cuenta también de Zaratustra que murió loco y que, en el fondo, todo cuanto hacia o decía era ya producto de su locura? ¿Y no sintieron ustedes, al oír semejantes afirmaciones, algo así como un sonrojo? ¿Cómo si hubiera sido mas noble y digno de ustedes figurar entre esos locos y se avergonzaron de no tener el valor necesario para ello?
Quisiera entonarles cantos sobre la soledad, amigos míos. Sin soledad no hay sufrimiento; sin soledad, no hay heroísmo. No me refiero, sin embargo, a la romántica soledad de los poetas y de los teatros, donde el manantial murmura cristalino junto a la cueva del ermitaño.
Del niño al hombre hay solo un paso, un solo corte. Aislarse, encontrar el yo, desprenderse de la madre y padre, ese es el paso del niño al hombre, y nadie lo da del todo. Cada hombre, hasta el mas santo ermitaño y huraño penitente de las mas desnudas montañas, lleva consigo un hilo, arrastra ese hilo que le mantiene atado a padre y madre y a toda su querida familia y a todo lo que fue suyo. Cuando ustedes, amigos, hablan con tanto ardor del pueblo y la patria, veo colgar de sus bocas ese hilo y no puedo dejar de sonreír. Cuando sus grandes hombres hablan de sus tareas y de su responsabilidad, el hilo les cuelga. Nunca hablan sus grandes hombres, sus caudillos y oradores de obligaciones consigo mismos, nunca hablan de la responsabilidad que tienen frente a su propio destino. Todos penden del hilo que los une a la madre y a todo lo calentito y agradable que les recuerdan los poetas, cuando llenos de sentimiento cantan la niñez y sus limpias alegrías. Nadie rompe del todo ese hilo, como no sea con la muerte, si es que consigue morir su propia muerte.
La mayoría de las personas, todas las del rebaño, no han saboreado nunca la soledad. Se separaron un día del padre y de la madre, pero solo para acercarse a una mujer y sumergirse en seguida en un nuevo nido de calor y familiaridad. Nunca están solos y a solas, nunca hablan consigo mismas. Y al solitario que se cruza en su camino le temen y le odian como a la peste, le arrojan piedras y no se tranquilizan hasta que están bien lejos de él. Porque al solitario le envuelve un aire que huele a estrellas y al frío de los espacios siderales y le falta todo ese aroma encantador y calido a hogar y nido.
Zaratustra tiene en si algo de ese aroma a estrellas y de ese desagradable frío. Asistió a la escuela del sufrimiento. Conoció la escuela del destino y fue forjado en ella.
No se, amigos, si debo hablar mas de la soledad… se que pocos siguen ese camino sin sufrir daño. Se vive mal sin madre, se vive mal sin hogar y sin patria, sin pueblo, sin gloria y sin todas las dulzuras de la comunidad. Se vive mal en el frío, la mayoría de los que iniciaron el camino sucumbieron. Hay que ser indiferente al hundimiento si uno desea saborear la soledad y enfrentarse con su propio destino. Más fácil es caminar con un pueblo y con muchos, aunque se tenga que pasar por la pobreza. Más fácil es, y más consolador dedicarse a los deberes que imponen el día y el pueblo. ¡Miren que contentos se mueven los hombres en las calles repletas! Se peligra, y la vida esta en juego, pero todos prefieren estar con la masa y sucumbir en ella que andar solos en la oscura noche y el frío.
Más… la soledad no se elije, del mismo modo que no se elije el destino. La soledad nos sobreviene si en nuestro interior se halla la piedra mágica que atrae al destino. Muchos, demasiados, se encaminaron al desierto, y allí, junto al precioso manantial y en la magnética ermita, aun así, llevaron la vida de hombres gregarios. Otros, en cambio, aun en las aglomeraciones, sopla ante sus frentes el aire de las estrellas.
¡Feliz de aquel que haya encontrado su soledad; no una soledad pintada ni imaginaria, sino la suya, la única la destinada a él! ¡Feliz del que sabe padecer! ¡Feliz del que lleva la piedra mágica en el corazón! A él acude el destino, la acción surge de él.
SOBRE EL PADECER Y EL HACER.
¿Qué hemos de hacer? Me preguntan a mí, y se lo preguntan a ustedes mismos sin cesar, el hacer lo es todo para ustedes.
La sola pregunta de ¿Qué hemos de hacer? Es pregunta de niño temeroso, demuestra lo poco que saben acerca del “hacer”.
Lo que ustedes los jóvenes llaman el hacer, yo el viejo ermitaño de la montaña, lo llamaría de otra manera muy distinta.
La acción, amigos míos, nunca fue llevada a cabo por los que antes preguntan ¿Qué he de hacer? La acción es la luz que brota del buen sol. Si el sol no es un sol bueno, verdadero y diez mil veces probado, o si incluso es un sol que se pregunta, acobardado, lo que tiene que hacer, entonces no será capaz jamás de producir luz. La acción no es hacer; la acción no se puede inventar ni imaginar. Les voy a decir lo que considero lo que es la acción, pero antes déjenme explicarles lo que creo que es su “hacer”.
Su hacer, el que quieren llevar adelante y que sale a la luz a través de vacilaciones y dudas, ese hacer, es lo contrario y el primer enemigo de la acción. Porque su hacer, si me permiten una fea palabra, no es mas que cobardía. Ya veo que se enfadan, pero esperen. Déjenme terminar de hablar.
Ustedes muchachos son soldados y antes de serlo, eran comerciantes o fabricantes o lo que fuera, o lo eran por sus padres, y ellos lo eran a consecuencia de unas enseñanzas erróneas, según la leyenda procedían de la eternidad y habían sido creados por dioses. Ustedes aceptaban el contraste hombre-dios, deduciendo de ello que, lo que era un hombre no podía ser un dios y viceversa. Zaratustra no puede desenmascarar de forma tan simple y sencilla esta antigua creencia en los sagrados contrastes, con todo su dudoso carácter y su fuerte descrédito, que colocándolos frente al contraste hacer-pensar creído por ustedes.
Abran los ojos y verán el hacer y el padecer tal y como se los quiere mostrar un viejo ermitaño.
Hacer y padecer, juntos componen nuestras vidas, son una sola cosa, un todo. El niño padece la concepción, padece el nacimiento, padece el destete, padece aquí y allá para padecer finalmente y morir. Pero lo bueno, lo que hay en él y por eso es alabado, es el padecimiento bueno, el padecimiento perfecto, pleno y vivo. Saber padecer bien, es ya mas que la mitad del vivir. Nacer significa padecer, el crecimiento es padecer, la semilla padece tierra, la raíz padece lluvia, los brotes padecen eclosión.
Así, padece el hombre su destino. El destino duele.
Ustedes, en cambio, llaman hacer al escapar de lo que duele, al no querer nacer, a la huida del sufrimiento. Hacer llamaban ustedes o lo llamaban sus padres a movernos día y noche en talleres y tiendas, a oír el golpe de los martillos a lanzar al aire el hollín; yo no tengo nada en contra de sus padres y sus martillos. Pero encuentro gracioso que llamen hacer a todas esas actividades, que no eran sino una huida del padecer. Resultaba penoso estar solo, por eso se fundaron las sociedades. Resultaba penoso escuchar dentro de si unas voces que exigían de ustedes vivir sus propias vidas, buscar su propio destino, morir su propia muerte.
¿Son ahora felices? ¿Tienen paz y alegría de corazón? ¿Les sabe dulce el destino ahora? ¿Sabe mas amargo que nunca? Es por eso que corren en pos de nuevas acciones, salen a la calle, alborotan… ¡Esto es por que huyen eternamente del sufrimiento!
Aprender a sufrir es difícil. Encontraran el ejemplo con mas frecuencia y mas hermoso, entre las mujeres que entre los hombres. ¡Aprendan de ellas! Aprendan a escuchar cuando habla la voz de la vida. Aprendan a tener respeto de la vida, respeto de ustedes mismos.
Del sufrimiento surge la fuerza; del sufrimiento surge la salud. El padecimiento fortalece, hace resistente. Solo los niños huyen a cada dolor. Yo amo a los niños, mas como podría amar a aquellos que se empeñan en querer seguir siendo niños toda la vida.
Así son todos los que se empeñan en huir del sufrimiento para refugiarse en el trabajo, en la actividad, movidos por un triste y antiguo miedo infantil al dolor y la oscuridad.
¿Qué les queda de todos sus oficios? El dinero se fue, y con el todo el brillo de su cobarde aplicación.
¿Dónde esta el gran hombre, el héroe? ¿Dónde están todas las grandes ideas felices? La acción buena y resplandeciente, no procede del hacer, de la actividad, no del afán de martilleo, sino que crece solitaria en las montañas, en las cumbres, donde hay silencio y peligro. Nace de unos padecimientos que ustedes todavía tienen que aprender a padecer.
HERMANN HESSE
SOBRE LA SOLEDAD.
Me preguntan, jóvenes, por la escuela del sufrimiento y por la forja del destino. ¿Es que no las conocen? No, ustedes, los que continuamente hablan del pueblo y están relacionados con las masas; ustedes, los que solo quieren padecer con ella y por ella, no la conocen. Les hablo de la soledad.
La soledad es el camino por donde el destino quiere conducir hacia si mismo al hombre. La soledad es el camino que mas teme el hombre por que allí se esconden todos los horrores, todas las serpientes y todos los sapos. Allí es donde acecha lo espantoso. ¿No corre la leyenda de que todos los solitarios, todos los exploradores del desierto de la soledad son personas desencaminadas, malas o enfermas? ¿No se narran todas las grandes heroicidades como si hubieran sido realizadas por delincuentes, por que conviene guardarse a si mismo del camino de semejantes acciones?
¿No se cuenta también de Zaratustra que murió loco y que, en el fondo, todo cuanto hacia o decía era ya producto de su locura? ¿Y no sintieron ustedes, al oír semejantes afirmaciones, algo así como un sonrojo? ¿Cómo si hubiera sido mas noble y digno de ustedes figurar entre esos locos y se avergonzaron de no tener el valor necesario para ello?
Quisiera entonarles cantos sobre la soledad, amigos míos. Sin soledad no hay sufrimiento; sin soledad, no hay heroísmo. No me refiero, sin embargo, a la romántica soledad de los poetas y de los teatros, donde el manantial murmura cristalino junto a la cueva del ermitaño.
Del niño al hombre hay solo un paso, un solo corte. Aislarse, encontrar el yo, desprenderse de la madre y padre, ese es el paso del niño al hombre, y nadie lo da del todo. Cada hombre, hasta el mas santo ermitaño y huraño penitente de las mas desnudas montañas, lleva consigo un hilo, arrastra ese hilo que le mantiene atado a padre y madre y a toda su querida familia y a todo lo que fue suyo. Cuando ustedes, amigos, hablan con tanto ardor del pueblo y la patria, veo colgar de sus bocas ese hilo y no puedo dejar de sonreír. Cuando sus grandes hombres hablan de sus tareas y de su responsabilidad, el hilo les cuelga. Nunca hablan sus grandes hombres, sus caudillos y oradores de obligaciones consigo mismos, nunca hablan de la responsabilidad que tienen frente a su propio destino. Todos penden del hilo que los une a la madre y a todo lo calentito y agradable que les recuerdan los poetas, cuando llenos de sentimiento cantan la niñez y sus limpias alegrías. Nadie rompe del todo ese hilo, como no sea con la muerte, si es que consigue morir su propia muerte.
La mayoría de las personas, todas las del rebaño, no han saboreado nunca la soledad. Se separaron un día del padre y de la madre, pero solo para acercarse a una mujer y sumergirse en seguida en un nuevo nido de calor y familiaridad. Nunca están solos y a solas, nunca hablan consigo mismas. Y al solitario que se cruza en su camino le temen y le odian como a la peste, le arrojan piedras y no se tranquilizan hasta que están bien lejos de él. Porque al solitario le envuelve un aire que huele a estrellas y al frío de los espacios siderales y le falta todo ese aroma encantador y calido a hogar y nido.
Zaratustra tiene en si algo de ese aroma a estrellas y de ese desagradable frío. Asistió a la escuela del sufrimiento. Conoció la escuela del destino y fue forjado en ella.
No se, amigos, si debo hablar mas de la soledad… se que pocos siguen ese camino sin sufrir daño. Se vive mal sin madre, se vive mal sin hogar y sin patria, sin pueblo, sin gloria y sin todas las dulzuras de la comunidad. Se vive mal en el frío, la mayoría de los que iniciaron el camino sucumbieron. Hay que ser indiferente al hundimiento si uno desea saborear la soledad y enfrentarse con su propio destino. Más fácil es caminar con un pueblo y con muchos, aunque se tenga que pasar por la pobreza. Más fácil es, y más consolador dedicarse a los deberes que imponen el día y el pueblo. ¡Miren que contentos se mueven los hombres en las calles repletas! Se peligra, y la vida esta en juego, pero todos prefieren estar con la masa y sucumbir en ella que andar solos en la oscura noche y el frío.
Más… la soledad no se elije, del mismo modo que no se elije el destino. La soledad nos sobreviene si en nuestro interior se halla la piedra mágica que atrae al destino. Muchos, demasiados, se encaminaron al desierto, y allí, junto al precioso manantial y en la magnética ermita, aun así, llevaron la vida de hombres gregarios. Otros, en cambio, aun en las aglomeraciones, sopla ante sus frentes el aire de las estrellas.
¡Feliz de aquel que haya encontrado su soledad; no una soledad pintada ni imaginaria, sino la suya, la única la destinada a él! ¡Feliz del que sabe padecer! ¡Feliz del que lleva la piedra mágica en el corazón! A él acude el destino, la acción surge de él.
SOBRE EL PADECER Y EL HACER.
¿Qué hemos de hacer? Me preguntan a mí, y se lo preguntan a ustedes mismos sin cesar, el hacer lo es todo para ustedes.
La sola pregunta de ¿Qué hemos de hacer? Es pregunta de niño temeroso, demuestra lo poco que saben acerca del “hacer”.
Lo que ustedes los jóvenes llaman el hacer, yo el viejo ermitaño de la montaña, lo llamaría de otra manera muy distinta.
La acción, amigos míos, nunca fue llevada a cabo por los que antes preguntan ¿Qué he de hacer? La acción es la luz que brota del buen sol. Si el sol no es un sol bueno, verdadero y diez mil veces probado, o si incluso es un sol que se pregunta, acobardado, lo que tiene que hacer, entonces no será capaz jamás de producir luz. La acción no es hacer; la acción no se puede inventar ni imaginar. Les voy a decir lo que considero lo que es la acción, pero antes déjenme explicarles lo que creo que es su “hacer”.
Su hacer, el que quieren llevar adelante y que sale a la luz a través de vacilaciones y dudas, ese hacer, es lo contrario y el primer enemigo de la acción. Porque su hacer, si me permiten una fea palabra, no es mas que cobardía. Ya veo que se enfadan, pero esperen. Déjenme terminar de hablar.
Ustedes muchachos son soldados y antes de serlo, eran comerciantes o fabricantes o lo que fuera, o lo eran por sus padres, y ellos lo eran a consecuencia de unas enseñanzas erróneas, según la leyenda procedían de la eternidad y habían sido creados por dioses. Ustedes aceptaban el contraste hombre-dios, deduciendo de ello que, lo que era un hombre no podía ser un dios y viceversa. Zaratustra no puede desenmascarar de forma tan simple y sencilla esta antigua creencia en los sagrados contrastes, con todo su dudoso carácter y su fuerte descrédito, que colocándolos frente al contraste hacer-pensar creído por ustedes.
Abran los ojos y verán el hacer y el padecer tal y como se los quiere mostrar un viejo ermitaño.
Hacer y padecer, juntos componen nuestras vidas, son una sola cosa, un todo. El niño padece la concepción, padece el nacimiento, padece el destete, padece aquí y allá para padecer finalmente y morir. Pero lo bueno, lo que hay en él y por eso es alabado, es el padecimiento bueno, el padecimiento perfecto, pleno y vivo. Saber padecer bien, es ya mas que la mitad del vivir. Nacer significa padecer, el crecimiento es padecer, la semilla padece tierra, la raíz padece lluvia, los brotes padecen eclosión.
Así, padece el hombre su destino. El destino duele.
Ustedes, en cambio, llaman hacer al escapar de lo que duele, al no querer nacer, a la huida del sufrimiento. Hacer llamaban ustedes o lo llamaban sus padres a movernos día y noche en talleres y tiendas, a oír el golpe de los martillos a lanzar al aire el hollín; yo no tengo nada en contra de sus padres y sus martillos. Pero encuentro gracioso que llamen hacer a todas esas actividades, que no eran sino una huida del padecer. Resultaba penoso estar solo, por eso se fundaron las sociedades. Resultaba penoso escuchar dentro de si unas voces que exigían de ustedes vivir sus propias vidas, buscar su propio destino, morir su propia muerte.
¿Son ahora felices? ¿Tienen paz y alegría de corazón? ¿Les sabe dulce el destino ahora? ¿Sabe mas amargo que nunca? Es por eso que corren en pos de nuevas acciones, salen a la calle, alborotan… ¡Esto es por que huyen eternamente del sufrimiento!
Aprender a sufrir es difícil. Encontraran el ejemplo con mas frecuencia y mas hermoso, entre las mujeres que entre los hombres. ¡Aprendan de ellas! Aprendan a escuchar cuando habla la voz de la vida. Aprendan a tener respeto de la vida, respeto de ustedes mismos.
Del sufrimiento surge la fuerza; del sufrimiento surge la salud. El padecimiento fortalece, hace resistente. Solo los niños huyen a cada dolor. Yo amo a los niños, mas como podría amar a aquellos que se empeñan en querer seguir siendo niños toda la vida.
Así son todos los que se empeñan en huir del sufrimiento para refugiarse en el trabajo, en la actividad, movidos por un triste y antiguo miedo infantil al dolor y la oscuridad.
¿Qué les queda de todos sus oficios? El dinero se fue, y con el todo el brillo de su cobarde aplicación.
¿Dónde esta el gran hombre, el héroe? ¿Dónde están todas las grandes ideas felices? La acción buena y resplandeciente, no procede del hacer, de la actividad, no del afán de martilleo, sino que crece solitaria en las montañas, en las cumbres, donde hay silencio y peligro. Nace de unos padecimientos que ustedes todavía tienen que aprender a padecer.
jueves, 15 de julio de 2010
EMPEZANDO POR EL PRINCIPIO.Eduardo Galeano
EMPEZANDO POR EL PRINCIPIO. Los valores sin precio.
Eduardo Galeano
En estos días están ocurriendo, en muchos países a la vez, numerosas manifestaciones populares contra la vocación guerrera de los amos del planeta. En las calles de muchas ciudades, esas manifestaciones dan testimonio de otro mundo posible. El mundo tal cual es transpira violencia por todos los poros y está sometido a una cultura militar que enseña a matar y a mentir. David Grossman, que fue teniente coronel del ejército de los Estados Unidos y está especializado en pedagogía militar, ha demostrado que el hombre no está naturalmente inclinado a la violencia. Contra lo que se supone, no es nada fácil enseñar a matar al prójimo. La educación para la violencia, que brutaliza al soldado, exige un intenso y prolongado adiestramiento. Según Grossman, ese adiestramiento comienza, en los cuarteles, a los dieciocho años de edad. Fuera de los cuarteles, comienza a los dieciocho meses de edad. Desde muy temprano, la televisión dicta esos cursos a domicilio. Su compatriota, el escritor John Reed, había comprobado, en 1917, que «las guerras crucifican la verdad». Muchos años después, otro compatriota, el presidente Bush Padre, que había desatado la primera guerra contra Irak con el noble propósito de liberar a Kuwait, publicó sus memorias. En ellas confiesa que los Estados Unidos habían bombardeado Irak porque no se podía permitir «que un poder regional hostil tuviera de rehén buena parte del suministro mundial de petróleo». Quizá, quien sabe, alguna vez el presidente Bush Hijo publicará una fe de erratas sobre su propia guerra contra Irak. Donde dice: «Cruzada del Bien contra el Mal», debe leerse: «Petróleo, petróleo y petróleo». Más de una fe de erratas será necesaria. Por ejemplo, habrá que aclarar que donde dice: «Comunidad internacional», debe leerse: «Jefes guerreros y grandes banqueros». ¿Cuántos son los arcángeles de la paz que nos defienden de los demonios de la guerra? Cinco. Los cinco países que tienen derecho de veto en el Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas. Y esos custodios de la paz son, además, los principales fabricantes de armas. En buenas manos estamos. ¿Y cuántos son los dueños de la democracia? Los pueblos votan, pero los banqueros vetan. Una monarquía de triple corona reina sobre el mundo. Cinco países toman las decisiones en el Fondo Monetario Internacional. En el Banco Mundial, mandan siete. En la Organización Mundial de Comercio, todos los países tienen derecho de voto, pero jamás se vota. Estas organizaciones, que gobiernan el mundo, merecen nuestra gratitud: ellas ahogan a nuestros países, pero después nos venden salvavidas de plomo. En 1995, la American Psychiatric Association publicó un informe sobre la patología criminal. ¿Cuál es, según los expertos, el rasgo más típico de los delincuentes habituales? La inclinación a la mentira. Y uno se pregunta: ¿No es éste el más perfecto identikit del poder universal? ¿Qué debe leerse, por ejemplo, donde dice: «libertad de trabajo»? Debe leerse: derecho de los empresarios a arrojar al tacho de la basura dos siglos de conquistas obreras. Se trabaja el doble a cambio de la mitad: horarios de goma, salarios enanos, despidos libres, y que Dios se ocupe de los accidentes, las enfermedades y la vejez. Las principales empresas multinacionales, Wal-Mart y McDonald’s, prohíben expresamente los sindicatos. Quien se afilia un sindicato pierde su empleo en el acto. En el mundo de hoy, que castiga la honestidad y recompensa la falta de escrúpulos, el trabajo es objeto de desprecio. El poder se disfraza de destino, dice ser eterno, y mucha gente se baja de la esperanza como si fuera un caballo cansado. Por eso la elección de Lula a la presidencia del Brasil va mucho más allá de las fronteras de este país: la victoria de un obrero sindicalista, que encarna la dignidad del trabajo, ayuda a difundir las vitaminas que todos necesitamos contra la peste de la desesperanza.
Eduardo Galeano
En estos días están ocurriendo, en muchos países a la vez, numerosas manifestaciones populares contra la vocación guerrera de los amos del planeta. En las calles de muchas ciudades, esas manifestaciones dan testimonio de otro mundo posible. El mundo tal cual es transpira violencia por todos los poros y está sometido a una cultura militar que enseña a matar y a mentir. David Grossman, que fue teniente coronel del ejército de los Estados Unidos y está especializado en pedagogía militar, ha demostrado que el hombre no está naturalmente inclinado a la violencia. Contra lo que se supone, no es nada fácil enseñar a matar al prójimo. La educación para la violencia, que brutaliza al soldado, exige un intenso y prolongado adiestramiento. Según Grossman, ese adiestramiento comienza, en los cuarteles, a los dieciocho años de edad. Fuera de los cuarteles, comienza a los dieciocho meses de edad. Desde muy temprano, la televisión dicta esos cursos a domicilio. Su compatriota, el escritor John Reed, había comprobado, en 1917, que «las guerras crucifican la verdad». Muchos años después, otro compatriota, el presidente Bush Padre, que había desatado la primera guerra contra Irak con el noble propósito de liberar a Kuwait, publicó sus memorias. En ellas confiesa que los Estados Unidos habían bombardeado Irak porque no se podía permitir «que un poder regional hostil tuviera de rehén buena parte del suministro mundial de petróleo». Quizá, quien sabe, alguna vez el presidente Bush Hijo publicará una fe de erratas sobre su propia guerra contra Irak. Donde dice: «Cruzada del Bien contra el Mal», debe leerse: «Petróleo, petróleo y petróleo». Más de una fe de erratas será necesaria. Por ejemplo, habrá que aclarar que donde dice: «Comunidad internacional», debe leerse: «Jefes guerreros y grandes banqueros». ¿Cuántos son los arcángeles de la paz que nos defienden de los demonios de la guerra? Cinco. Los cinco países que tienen derecho de veto en el Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas. Y esos custodios de la paz son, además, los principales fabricantes de armas. En buenas manos estamos. ¿Y cuántos son los dueños de la democracia? Los pueblos votan, pero los banqueros vetan. Una monarquía de triple corona reina sobre el mundo. Cinco países toman las decisiones en el Fondo Monetario Internacional. En el Banco Mundial, mandan siete. En la Organización Mundial de Comercio, todos los países tienen derecho de voto, pero jamás se vota. Estas organizaciones, que gobiernan el mundo, merecen nuestra gratitud: ellas ahogan a nuestros países, pero después nos venden salvavidas de plomo. En 1995, la American Psychiatric Association publicó un informe sobre la patología criminal. ¿Cuál es, según los expertos, el rasgo más típico de los delincuentes habituales? La inclinación a la mentira. Y uno se pregunta: ¿No es éste el más perfecto identikit del poder universal? ¿Qué debe leerse, por ejemplo, donde dice: «libertad de trabajo»? Debe leerse: derecho de los empresarios a arrojar al tacho de la basura dos siglos de conquistas obreras. Se trabaja el doble a cambio de la mitad: horarios de goma, salarios enanos, despidos libres, y que Dios se ocupe de los accidentes, las enfermedades y la vejez. Las principales empresas multinacionales, Wal-Mart y McDonald’s, prohíben expresamente los sindicatos. Quien se afilia un sindicato pierde su empleo en el acto. En el mundo de hoy, que castiga la honestidad y recompensa la falta de escrúpulos, el trabajo es objeto de desprecio. El poder se disfraza de destino, dice ser eterno, y mucha gente se baja de la esperanza como si fuera un caballo cansado. Por eso la elección de Lula a la presidencia del Brasil va mucho más allá de las fronteras de este país: la victoria de un obrero sindicalista, que encarna la dignidad del trabajo, ayuda a difundir las vitaminas que todos necesitamos contra la peste de la desesperanza.
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ERNESTO LEONIDES
NO SIEMPRE SOY INFERNAL SINO GUSANO.
Tengo órdenes de ser absolutamente verde,
Como gusano de lechuga o como hoja de eucalipto.
Tengo instrucciones de mantenerme intacto,
Lustrosamente reptante…
Se me pidió repeler a los indignos y eso haré.
Me dejaron las señales para reconocer a los cobardes
Y echarlos de aquí...
Me confiaron las palabras que hacen humedecer
A todas las mujeres…
¡Claro que me ocupare de eso!
Pero ahora no estoy listo, estoy cansado…
Por tanto no responderé ninguna pregunta
Que contravenga mi condición de gusano.
Ni declarare nada que sensatamente
No incumbiera a un gusano feliz,
De Sol y de humedad…
Pero apacible, sin ferocidad.
Y desde luego, sin gana
Alguna de suicidarse…
RECLAMO.
Mujer, regrésame
La costilla que te di.
TRES BOCAS TIENE SU CUERPO.
Tres bocas tiene su cuerpo que es prodigioso,
Ella, la de los buenos augurios,
Me recita los salmos, me cuenta historias,
No me detengo un instante, las doy por ciertas,
En ella inicia y termina mi cruzada por la carne.
Fuera de ella todo ha sido demolido.
De su boca, primera abertura, escurre resina,
Único acceso que procura palabras,
Las otras urnas (las dos) producen suspiros, gemidos,
Estrangulos de aire también, pero cuya
Significación compete a la entraña de la carne.
Las palabras solo su boca con lengua las contiene.
No tengo tiempo de verificar los datos que me ofrece su piel,
Saliva, su músculo, mucosa, su grasa, huesos,
Solo abrevo y continúo.
Ella como buena anfitriona me guía…
De ahí a su Deus Pixide hay mucha historia; su ya cantada,
Floreada, su segunda boca que siempre gotea...
(Sacre virgines, quibus in gynaeceo cunclis nulla vía
dabatur agnoscendi juvemem… interposita illum ad se…).(1)
Cuatro millones de años que otras generaciones
Han convenido como la más propia al deseo.
Sigo descendiendo, Virgilio se ha quedado muy atrás ya…
Rastreando sus olores cada vez más intensos
Llego a su boca pequeña (3ª)
Ultimo acceso de lo que vive de mí.
Diminutos dientes mastican mi fuerza
En alargada y filosa carne mía.
Mordida de sexo rabioso, encías internas que aprietan
Lo que apenas cabe en lo que apenas contiene.
Gruñe, fosa común de lo que vive y los despojos.
Tres bocas tiene su cuerpo que es prodigioso…
(1) Juan Luís Maneiro. México S.XVIII : “Las vírgenes sagradas que encerradas en el gineceo, no se les daba medio alguno de conocer al joven…obtenían, les fuera llevado a ellas…” De: “Sobre la vía de tres ilustres mexicanos.”
NUBES.
Las nubes tiradas boca abajo
De vez en vez y vanidosas
Lanzaban una ajena mirada
Sobre las cosas terrestres.
No admiten medición humana
Ni reconocen más cronología
Que no sea la eternidad.
Nodrizas inmensas
No se permiten otra afiliación
Que no sea la indiferencia.
LA 3ª.
Desperté sin ganas de moverme
Y me ocupe en recortar en partes,
La flexibilidad de las sombras.
Luego esparcí, en la tensión
Alambrica de la tarde, por pares,
Los residuos sombra de mis dedos, mis brazos.
Ya sin peso, quede sembrado en la cama,
Mientras los vapores del alcohol,
Siniestros, se elevaban en arabescos…
Enchufaron la ciudad eléctrica, hecha de:
¡Fútiles folios fósiles, fundidos fusiles fusibles!
I
Tú tienes el mar ahí adentro,
Cuando por las noches me recuesto en tu vientre,
Escucho murmullos de corrientes profundas,
Vestigios de rocas azotadas por el oleaje.
Chapoteo de pies descalzos en las riveras marinas.
Tu ríes y dices que es tu estomago,
Que esos sonidos son de tus intestinos.
Pero no, yo se que tienes el mar ahí adentro.
De que otra manera me explico
Que fluya espuma marina de tu ser,
Que refresca mi veleta cuando te penetro.
Navego mar adentro, ya en el centro,
Agito tu interior, liberando un
Banco de inquietos hipocampos,
Cosquillean en tus labios internos,
No pueden estar quietos y salen,
Llegan hasta tus muslos,
Subsisten un poco en la salinidad de tu cuerpo
Pero el calor seca el sudor
Y perecen en tu piel, se fosilizan…
II
Te digo y explico esto y vuelves a reír incrédula.
Pero es tan evidente la presencia del mar en ti,
En tu boca, arrecife de coral,
Anémonas y esponjas habitan ahí
Y bajo tu lengua, escondida,
Una estrella de mar ensaliva mi oreja.
Pero tú no quieres creer lo que te digo,
Aguas árticas hay bajo tus brazos
Y tus senos, cumbres boreales
Que ancestrales vikingos de mis dedos
Exploraron hace mucho tiempo…
La rosa de los vientos yace en tu ombligo
Y mas abajo, mas abajo de tu vientre,
Esta el Caribe…
Tesoros hundidos, sucios piratas,
Galeones encallados, playas brillantes de sol.
En tu espalda se hayan inscritas rutas secretas.
Hay tantas referencias en los litorales de tu cuerpo.
En tu pubis, presencia de algas y arena,
Hay señales claras en todo tu cuerpo,
Hay vestigios del mar…
III
Hasta ahí el Caribe y después,
Mas abajo, se haya el pacifico,
Entre tus piernas, el mar de la tranquilidad
Se escurre desde tu interior,
Hasta mojar las sabanas de nuestro lecho.
BUENAS NOCHES.
Ángeles que guardan y coronan tu sueño.
Demonios lujuriosos que lamen el techo de su mundo,
Que para ti es el sendero de la tierra que pisas.
UN PASEO NOCTURNO SOBRE LA CIUDAD
VUELTA ESPEJO.
Ceso de llover, salimos al centro.
Caminabas de mi brazo,
Toda la ciudad en duplicado
Sobre el suelo mojado.
HUMILIS SPIRITU SALVAVIT.
I
Las cosas estáticas
Son altamente vulnerables
Al polvo y al olvido.
II
El polvo se sirve,
De los hilos de luz
Para trasladarse.
MIENTRAS OCURRE LO OSCURO.
La noche, el gran cultivo
De sonidos dilatados.
Yo no me muevo, lo evito,
Para no provocar derrumbes.
SOMOS TRES.
Luego te cuento lo que cantan
Mi sangre y mis huesos,
Que hacen fiesta
Cuando tú estas cerca.
La 4ª.
Todos los rincones
Han sido rellenados
De plastilina en forma
De sonido. El silencio,
Esta vez, ha sido
Desterrado…
LA 6ª.
Eternauta clase media, en caída libre
Al inevitable cansancio de la tarde de ciudad.
La vida se estacionara sobre nosotros
Y decir hoy, será cualquier día y mañana y el siguiente,
Lo mismo. Eso no importa, mi nostalgia no esta hecha
De tiempo, lo que lamento de más es tu espacio,
Todos los lugares de tu atmósfera desbordada,
Ahora, ya imposible de recuperar…
LUGAR DE REPOSO.
El asilo, ultimo retiro del polvo sedentario,
La inusual gravedad y parsimonia
Se la da la luz molida que lo atraviesa
Sin tomarle parecer.
Polvo lento sobre las cosas,
Estacionado con esfuerzo,
Acarreando cansancio lejano.
Antes que el olvido empiece a obrar
En los objetos: bastones lerdos,
Anteojos miopes, relojes de un tiempo innecesario…
Todas ellas se declaran inútiles y solicitan
No se les vuelva a molestar…
Después, todo es barrido por el pelo de Dios.
I
El León fue evolucionando para matar al Ñiu.
Y el Ñiu perfeccionándose para no dejarse matar por él.
Sencillo, siempre asistirán a su cita; Sabemos que ambos se sueñan,
Uno vive en las fantasías del otro y este en las de aquel.
De forma similar Mujeres y Hombres se añoran, se persiguen.
II
El Tiburón temía al Liopleurodon, cuando este se extinguió,
Aquel soñó tranquilo. Domina y pasea desde entonces a sus anchas.
¿Hasta cuando durara esto? El Tiburón no siente miedo de nada.
Y come como si quisiera tragárselo todo. Pero llegara un día…
¡Los Humanos no son mejores Criaturas que el Tiburón!
III
El Ornitoqueirus quería solo lo que quiere el Gato,
Pero conoció un mundo con solo dos Estaciones:
De humedad profunda y sequía cruel. El Gato dormido
Se estira y busca la brisa fresca de la tarde, sueña que vuela…
¡Que mundo, que seres pueblan y conviven en esta casa!
Por mucho el Gato, seria la envidia del ave reptil extinta.
CREPUSCULAR.
La tarde se escurrió sobre todas las cosas,
Los muebles rechinando, su inmovilidad nos reprochaban
El aire de semen, enrarecido y cansado, se colgó en la cortina,
La última luz filtrada barnizaba tu cuerpo.
Eras el horizonte, ultima línea que dibuja el sol
En su huida. Yo recostado en tu vientre escuchaba,
¿Qué tenias ahí?
a) Plankton mezclado con leche y miel de los Cantares…
b) Oro, incienso y mirra cocinándose con lo que almorzamos…
c) Trufas, jengibre, alcachofas… y toda especie rara que no probaré…
NUEVOS INQUILINOS.
El pudridero de la primavera estaba ya en su apogeo.
Los cananeos, se dice, eran especialmente depravados;
Esto lo opinaban otros hebreos, que en Sodoma,
Hablaban de moral mientras escombraban
La ciudad destripada por el Señor…
HASTIO.
Bancas de parque,
Hastiadas
De culos de gente.
(I) LLORANDO:
De hecho vine con mi uniforme de “Blue Demon” a pedirte perdón
Y para que no olvides que soy un ser obscuro (Con “b” de burro).
Que vive inmerso en una soledad estrafalaria, catacumbica.
(II) MEJOR ASÍ:
Ya vuelvo a mis Putas baratas y tú a la conquista de excursionistas,
Políglota de ambiente… Recuerda que los hombres blancos
Han sido depredadores magníficos; No creas nada de lo que digan.
Los pobladores de Tenochtitlan confiaron en ellos, ya ves lo que paso.
(III) EN ADELANTE:
Quédate con tu agenda llena, con el ajetreo de las cantinas del centro.
Con tu itinerario de los simpáticos chicos del sector Berlín, Barcelona,
Ámsterdam, Havre, Paris… de ultramar a la condesa.
A esta hora que te pienso, todos tenemos frió y estamos cansados,
¡Ciudad levántate! y yo que aun no he empezado a dormir…
Déjame a mí maldecir por mi lado. Deja que no encuentre lengua
Para decir lo que pienso, ¡voy a contar hasta diez! Recuerda…
Que un verdadero Poeta a los seis meses apesta.
Uno como yo, para convivir dos años limpios y luego desaparecer.
CLONAZEPAM PARA DOS.
El restablecimiento de la dirección del sol.
La migración de las aves en curso.
Para que las flores asciendan y no se sumerjan
En la tierra. Que el viento Levante
Golpee al occidente.
Que los caracoles avancen y no vayan
En reversa de donde vienen,
Que siempre vayan aprisa.
Que las nieves eternas permanezcan
En suspenso solidó.
Que las estrellas no se nos vengan encima
De luz liquida, que sean de gas...
Todas estas cosas dependen de tu salud,
Gatita que ya no frecuenta mi noche.
Restablécete y permítele al mundo
Que conserve su orden.
Mi salud, mi buena suerte,
Mi aurora boreal,
Mi lámpara de día,
Mi cabeza en su sitio,
Mi medicina…
DE LA MUERTE HABLAN SOLO
LOS QUE NO VAN A MORIR.
El perro buscando alivio, acostó
Su sarna bajo el sol medicinal.
Agonizaba; no había duda.
Al encontrar un lugar tranquilo,
De emergencia, se echo sobre el sofocante dolor
(Toda la noche lloro su espinazo quebrado).
Con el cenit le volvió un poco la vida;
El sol tostaba y sedaba su alma…
En esa tibia calma se volvió (un poco) vegetal;
Y le vino una iluminación solar…
Como a las plantas, nutriéndose de luz pura,
Inmóvil pero inmenso.
Su ángel tutelar (que también estaba allí)
Me pidió mis manos sucias,
Para que aquel ser extraño,
Vistiera su sarna con caricias,
Que es lo que mas anhelan ellos
De nosotros… y me sentí bueno.
Pero el dolor tiene memoria y vuelve.
En un ejercicio de extrema empatía,
Extrañe con él, terriblemente
El crepúsculo de ese día, la noche,
La luna y la aurora siguiente
Que se perdería…
Es por demás, yo tenía, sin certeza,
Algunas mañanas mas (y aquí estoy).
Efectivamente, era solo un ejercicio.
Cantar es invocar al dios muerto que duele
Dentro de nosotros; Bramo por sus amantes.
Aulló por sus compañeros de aventuras.
Estamos hechos para no olvidar nada.
Morir es el instante más solitario
Aunque la agonía se extienda acompañada.
Los estremecimientos finales
Y Dios despertó, se asomo por sus ojos
Hermosos, destellos van de Graaff,
Como luciérnagas en barrena,
Perforando la noche de sus corneas,
El filamento de su mirada incandescente
Se apago, e incomunicable se fue.
Animales grandes, insectos, plantas,
Humanos que nos harán falta
Por siempre (que es un breve tiempo).
Nosotros también veremos
Las estrellas de frente y de cerca
Álbumes de familia…
Es una pena:
Benjamín se va. ¡Un niño nace!
Otro conoce a alguien más;
Dos se despiden para siempre;
Los arrecifes de coral; beber vino y
Agua; mirar la tarde por un Vermeer;
Las hormigas; la lluvia; las flores;
El estiércol; los capullos; las formas;
Tres tristes tigres; el bosque;
La muerte…
VIMOS PASAR UN COMETA.
Como broche prendido
A la solapa de la noche:
Altazor se aferra
A una pluma,
De la que cae
Un pájaro
Y el cielo.
PARA UN DIEZ DE OCTUBRE.
Mañana nacerán flores y plantas
Que tanto quieres;
Y algunas solo vivirán un día,
Olor de epazote y perejil;
Venir tan solo a dejar perfume,
Para tu memoria.
Pa llevar a todas partes
A donde va tu casa…
Que afortunados,
Un cumpleaños más
Y los recuerdos,
Que entre mas usamos,
Más retocamos… amor.
Hasta que un día,
El Día de tu Cumpleaños,
Llegue a ser tan parecido,
A cuando Felicita fue niña,
Como Lijih, y soñaba,
Y levantaba flores y grillos,
Y pensaba en volar y en nubess…
TENTATIVA DE POEMA.
Hay un mundo preparado ya para ti
Que ella y yo tratamos de amoldar
Para evitarte tristezas…
Guardarte para luego algunas alegrías,
Para cuando tengas la idea “que la vida pesa y duele”
Que te las puedas poner como quien se pone un lindo traje,
O quien cambia las flores de un siempre bello jarrón…
Pusimos el rostro (los dos) para desahogar
Un poco al mundo de sus viejas furias,
Recibimos algunas bofetadas que, presentíamos,
Te buscarían cuando fueras más grande y valiente…
Contuvimos cierta cantidad de risas y júbilos
Para arrullarte cuando fueras viejo y solo…
“Las madres nunca duermen completamente.”
Tu mama me dijo que quería comer menos,
Para “guardarte un bocado de pan”
Que nacerías con hambre de estrellas…
Y cuando me vio llorando, ambos nos dimos cuenta
Que delirábamos de felicidad por ti…
Solo de pensarte, el mundo es más bueno y más…
ERNESTO LEONIDES
NO SIEMPRE SOY INFERNAL SINO GUSANO.
Tengo órdenes de ser absolutamente verde,
Como gusano de lechuga o como hoja de eucalipto.
Tengo instrucciones de mantenerme intacto,
Lustrosamente reptante…
Se me pidió repeler a los indignos y eso haré.
Me dejaron las señales para reconocer a los cobardes
Y echarlos de aquí...
Me confiaron las palabras que hacen humedecer
A todas las mujeres…
¡Claro que me ocupare de eso!
Pero ahora no estoy listo, estoy cansado…
Por tanto no responderé ninguna pregunta
Que contravenga mi condición de gusano.
Ni declarare nada que sensatamente
No incumbiera a un gusano feliz,
De Sol y de humedad…
Pero apacible, sin ferocidad.
Y desde luego, sin gana
Alguna de suicidarse…
RECLAMO.
Mujer, regrésame
La costilla que te di.
TRES BOCAS TIENE SU CUERPO.
Tres bocas tiene su cuerpo que es prodigioso,
Ella, la de los buenos augurios,
Me recita los salmos, me cuenta historias,
No me detengo un instante, las doy por ciertas,
En ella inicia y termina mi cruzada por la carne.
Fuera de ella todo ha sido demolido.
De su boca, primera abertura, escurre resina,
Único acceso que procura palabras,
Las otras urnas (las dos) producen suspiros, gemidos,
Estrangulos de aire también, pero cuya
Significación compete a la entraña de la carne.
Las palabras solo su boca con lengua las contiene.
No tengo tiempo de verificar los datos que me ofrece su piel,
Saliva, su músculo, mucosa, su grasa, huesos,
Solo abrevo y continúo.
Ella como buena anfitriona me guía…
De ahí a su Deus Pixide hay mucha historia; su ya cantada,
Floreada, su segunda boca que siempre gotea...
(Sacre virgines, quibus in gynaeceo cunclis nulla vía
dabatur agnoscendi juvemem… interposita illum ad se…).(1)
Cuatro millones de años que otras generaciones
Han convenido como la más propia al deseo.
Sigo descendiendo, Virgilio se ha quedado muy atrás ya…
Rastreando sus olores cada vez más intensos
Llego a su boca pequeña (3ª)
Ultimo acceso de lo que vive de mí.
Diminutos dientes mastican mi fuerza
En alargada y filosa carne mía.
Mordida de sexo rabioso, encías internas que aprietan
Lo que apenas cabe en lo que apenas contiene.
Gruñe, fosa común de lo que vive y los despojos.
Tres bocas tiene su cuerpo que es prodigioso…
(1) Juan Luís Maneiro. México S.XVIII : “Las vírgenes sagradas que encerradas en el gineceo, no se les daba medio alguno de conocer al joven…obtenían, les fuera llevado a ellas…” De: “Sobre la vía de tres ilustres mexicanos.”
NUBES.
Las nubes tiradas boca abajo
De vez en vez y vanidosas
Lanzaban una ajena mirada
Sobre las cosas terrestres.
No admiten medición humana
Ni reconocen más cronología
Que no sea la eternidad.
Nodrizas inmensas
No se permiten otra afiliación
Que no sea la indiferencia.
LA 3ª.
Desperté sin ganas de moverme
Y me ocupe en recortar en partes,
La flexibilidad de las sombras.
Luego esparcí, en la tensión
Alambrica de la tarde, por pares,
Los residuos sombra de mis dedos, mis brazos.
Ya sin peso, quede sembrado en la cama,
Mientras los vapores del alcohol,
Siniestros, se elevaban en arabescos…
Enchufaron la ciudad eléctrica, hecha de:
¡Fútiles folios fósiles, fundidos fusiles fusibles!
I
Tú tienes el mar ahí adentro,
Cuando por las noches me recuesto en tu vientre,
Escucho murmullos de corrientes profundas,
Vestigios de rocas azotadas por el oleaje.
Chapoteo de pies descalzos en las riveras marinas.
Tu ríes y dices que es tu estomago,
Que esos sonidos son de tus intestinos.
Pero no, yo se que tienes el mar ahí adentro.
De que otra manera me explico
Que fluya espuma marina de tu ser,
Que refresca mi veleta cuando te penetro.
Navego mar adentro, ya en el centro,
Agito tu interior, liberando un
Banco de inquietos hipocampos,
Cosquillean en tus labios internos,
No pueden estar quietos y salen,
Llegan hasta tus muslos,
Subsisten un poco en la salinidad de tu cuerpo
Pero el calor seca el sudor
Y perecen en tu piel, se fosilizan…
II
Te digo y explico esto y vuelves a reír incrédula.
Pero es tan evidente la presencia del mar en ti,
En tu boca, arrecife de coral,
Anémonas y esponjas habitan ahí
Y bajo tu lengua, escondida,
Una estrella de mar ensaliva mi oreja.
Pero tú no quieres creer lo que te digo,
Aguas árticas hay bajo tus brazos
Y tus senos, cumbres boreales
Que ancestrales vikingos de mis dedos
Exploraron hace mucho tiempo…
La rosa de los vientos yace en tu ombligo
Y mas abajo, mas abajo de tu vientre,
Esta el Caribe…
Tesoros hundidos, sucios piratas,
Galeones encallados, playas brillantes de sol.
En tu espalda se hayan inscritas rutas secretas.
Hay tantas referencias en los litorales de tu cuerpo.
En tu pubis, presencia de algas y arena,
Hay señales claras en todo tu cuerpo,
Hay vestigios del mar…
III
Hasta ahí el Caribe y después,
Mas abajo, se haya el pacifico,
Entre tus piernas, el mar de la tranquilidad
Se escurre desde tu interior,
Hasta mojar las sabanas de nuestro lecho.
BUENAS NOCHES.
Ángeles que guardan y coronan tu sueño.
Demonios lujuriosos que lamen el techo de su mundo,
Que para ti es el sendero de la tierra que pisas.
UN PASEO NOCTURNO SOBRE LA CIUDAD
VUELTA ESPEJO.
Ceso de llover, salimos al centro.
Caminabas de mi brazo,
Toda la ciudad en duplicado
Sobre el suelo mojado.
HUMILIS SPIRITU SALVAVIT.
I
Las cosas estáticas
Son altamente vulnerables
Al polvo y al olvido.
II
El polvo se sirve,
De los hilos de luz
Para trasladarse.
MIENTRAS OCURRE LO OSCURO.
La noche, el gran cultivo
De sonidos dilatados.
Yo no me muevo, lo evito,
Para no provocar derrumbes.
SOMOS TRES.
Luego te cuento lo que cantan
Mi sangre y mis huesos,
Que hacen fiesta
Cuando tú estas cerca.
La 4ª.
Todos los rincones
Han sido rellenados
De plastilina en forma
De sonido. El silencio,
Esta vez, ha sido
Desterrado…
LA 6ª.
Eternauta clase media, en caída libre
Al inevitable cansancio de la tarde de ciudad.
La vida se estacionara sobre nosotros
Y decir hoy, será cualquier día y mañana y el siguiente,
Lo mismo. Eso no importa, mi nostalgia no esta hecha
De tiempo, lo que lamento de más es tu espacio,
Todos los lugares de tu atmósfera desbordada,
Ahora, ya imposible de recuperar…
LUGAR DE REPOSO.
El asilo, ultimo retiro del polvo sedentario,
La inusual gravedad y parsimonia
Se la da la luz molida que lo atraviesa
Sin tomarle parecer.
Polvo lento sobre las cosas,
Estacionado con esfuerzo,
Acarreando cansancio lejano.
Antes que el olvido empiece a obrar
En los objetos: bastones lerdos,
Anteojos miopes, relojes de un tiempo innecesario…
Todas ellas se declaran inútiles y solicitan
No se les vuelva a molestar…
Después, todo es barrido por el pelo de Dios.
I
El León fue evolucionando para matar al Ñiu.
Y el Ñiu perfeccionándose para no dejarse matar por él.
Sencillo, siempre asistirán a su cita; Sabemos que ambos se sueñan,
Uno vive en las fantasías del otro y este en las de aquel.
De forma similar Mujeres y Hombres se añoran, se persiguen.
II
El Tiburón temía al Liopleurodon, cuando este se extinguió,
Aquel soñó tranquilo. Domina y pasea desde entonces a sus anchas.
¿Hasta cuando durara esto? El Tiburón no siente miedo de nada.
Y come como si quisiera tragárselo todo. Pero llegara un día…
¡Los Humanos no son mejores Criaturas que el Tiburón!
III
El Ornitoqueirus quería solo lo que quiere el Gato,
Pero conoció un mundo con solo dos Estaciones:
De humedad profunda y sequía cruel. El Gato dormido
Se estira y busca la brisa fresca de la tarde, sueña que vuela…
¡Que mundo, que seres pueblan y conviven en esta casa!
Por mucho el Gato, seria la envidia del ave reptil extinta.
CREPUSCULAR.
La tarde se escurrió sobre todas las cosas,
Los muebles rechinando, su inmovilidad nos reprochaban
El aire de semen, enrarecido y cansado, se colgó en la cortina,
La última luz filtrada barnizaba tu cuerpo.
Eras el horizonte, ultima línea que dibuja el sol
En su huida. Yo recostado en tu vientre escuchaba,
¿Qué tenias ahí?
a) Plankton mezclado con leche y miel de los Cantares…
b) Oro, incienso y mirra cocinándose con lo que almorzamos…
c) Trufas, jengibre, alcachofas… y toda especie rara que no probaré…
NUEVOS INQUILINOS.
El pudridero de la primavera estaba ya en su apogeo.
Los cananeos, se dice, eran especialmente depravados;
Esto lo opinaban otros hebreos, que en Sodoma,
Hablaban de moral mientras escombraban
La ciudad destripada por el Señor…
HASTIO.
Bancas de parque,
Hastiadas
De culos de gente.
(I) LLORANDO:
De hecho vine con mi uniforme de “Blue Demon” a pedirte perdón
Y para que no olvides que soy un ser obscuro (Con “b” de burro).
Que vive inmerso en una soledad estrafalaria, catacumbica.
(II) MEJOR ASÍ:
Ya vuelvo a mis Putas baratas y tú a la conquista de excursionistas,
Políglota de ambiente… Recuerda que los hombres blancos
Han sido depredadores magníficos; No creas nada de lo que digan.
Los pobladores de Tenochtitlan confiaron en ellos, ya ves lo que paso.
(III) EN ADELANTE:
Quédate con tu agenda llena, con el ajetreo de las cantinas del centro.
Con tu itinerario de los simpáticos chicos del sector Berlín, Barcelona,
Ámsterdam, Havre, Paris… de ultramar a la condesa.
A esta hora que te pienso, todos tenemos frió y estamos cansados,
¡Ciudad levántate! y yo que aun no he empezado a dormir…
Déjame a mí maldecir por mi lado. Deja que no encuentre lengua
Para decir lo que pienso, ¡voy a contar hasta diez! Recuerda…
Que un verdadero Poeta a los seis meses apesta.
Uno como yo, para convivir dos años limpios y luego desaparecer.
CLONAZEPAM PARA DOS.
El restablecimiento de la dirección del sol.
La migración de las aves en curso.
Para que las flores asciendan y no se sumerjan
En la tierra. Que el viento Levante
Golpee al occidente.
Que los caracoles avancen y no vayan
En reversa de donde vienen,
Que siempre vayan aprisa.
Que las nieves eternas permanezcan
En suspenso solidó.
Que las estrellas no se nos vengan encima
De luz liquida, que sean de gas...
Todas estas cosas dependen de tu salud,
Gatita que ya no frecuenta mi noche.
Restablécete y permítele al mundo
Que conserve su orden.
Mi salud, mi buena suerte,
Mi aurora boreal,
Mi lámpara de día,
Mi cabeza en su sitio,
Mi medicina…
DE LA MUERTE HABLAN SOLO
LOS QUE NO VAN A MORIR.
El perro buscando alivio, acostó
Su sarna bajo el sol medicinal.
Agonizaba; no había duda.
Al encontrar un lugar tranquilo,
De emergencia, se echo sobre el sofocante dolor
(Toda la noche lloro su espinazo quebrado).
Con el cenit le volvió un poco la vida;
El sol tostaba y sedaba su alma…
En esa tibia calma se volvió (un poco) vegetal;
Y le vino una iluminación solar…
Como a las plantas, nutriéndose de luz pura,
Inmóvil pero inmenso.
Su ángel tutelar (que también estaba allí)
Me pidió mis manos sucias,
Para que aquel ser extraño,
Vistiera su sarna con caricias,
Que es lo que mas anhelan ellos
De nosotros… y me sentí bueno.
Pero el dolor tiene memoria y vuelve.
En un ejercicio de extrema empatía,
Extrañe con él, terriblemente
El crepúsculo de ese día, la noche,
La luna y la aurora siguiente
Que se perdería…
Es por demás, yo tenía, sin certeza,
Algunas mañanas mas (y aquí estoy).
Efectivamente, era solo un ejercicio.
Cantar es invocar al dios muerto que duele
Dentro de nosotros; Bramo por sus amantes.
Aulló por sus compañeros de aventuras.
Estamos hechos para no olvidar nada.
Morir es el instante más solitario
Aunque la agonía se extienda acompañada.
Los estremecimientos finales
Y Dios despertó, se asomo por sus ojos
Hermosos, destellos van de Graaff,
Como luciérnagas en barrena,
Perforando la noche de sus corneas,
El filamento de su mirada incandescente
Se apago, e incomunicable se fue.
Animales grandes, insectos, plantas,
Humanos que nos harán falta
Por siempre (que es un breve tiempo).
Nosotros también veremos
Las estrellas de frente y de cerca
Álbumes de familia…
Es una pena:
Benjamín se va. ¡Un niño nace!
Otro conoce a alguien más;
Dos se despiden para siempre;
Los arrecifes de coral; beber vino y
Agua; mirar la tarde por un Vermeer;
Las hormigas; la lluvia; las flores;
El estiércol; los capullos; las formas;
Tres tristes tigres; el bosque;
La muerte…
VIMOS PASAR UN COMETA.
Como broche prendido
A la solapa de la noche:
Altazor se aferra
A una pluma,
De la que cae
Un pájaro
Y el cielo.
PARA UN DIEZ DE OCTUBRE.
Mañana nacerán flores y plantas
Que tanto quieres;
Y algunas solo vivirán un día,
Olor de epazote y perejil;
Venir tan solo a dejar perfume,
Para tu memoria.
Pa llevar a todas partes
A donde va tu casa…
Que afortunados,
Un cumpleaños más
Y los recuerdos,
Que entre mas usamos,
Más retocamos… amor.
Hasta que un día,
El Día de tu Cumpleaños,
Llegue a ser tan parecido,
A cuando Felicita fue niña,
Como Lijih, y soñaba,
Y levantaba flores y grillos,
Y pensaba en volar y en nubess…
TENTATIVA DE POEMA.
Hay un mundo preparado ya para ti
Que ella y yo tratamos de amoldar
Para evitarte tristezas…
Guardarte para luego algunas alegrías,
Para cuando tengas la idea “que la vida pesa y duele”
Que te las puedas poner como quien se pone un lindo traje,
O quien cambia las flores de un siempre bello jarrón…
Pusimos el rostro (los dos) para desahogar
Un poco al mundo de sus viejas furias,
Recibimos algunas bofetadas que, presentíamos,
Te buscarían cuando fueras más grande y valiente…
Contuvimos cierta cantidad de risas y júbilos
Para arrullarte cuando fueras viejo y solo…
“Las madres nunca duermen completamente.”
Tu mama me dijo que quería comer menos,
Para “guardarte un bocado de pan”
Que nacerías con hambre de estrellas…
Y cuando me vio llorando, ambos nos dimos cuenta
Que delirábamos de felicidad por ti…
Solo de pensarte, el mundo es más bueno y más…
Si Euclides lo supiese... se sentiría muy orgulloso
Si Euclides lo supiese... se sentiría muy orgulloso (*)
Patrones de regularidad máxima en música, geometría, informática y otras disciplinas
Francisco Gómez Martín
Escuela Universitaria de Informática
Universidad Politécnica de Madrid
e-mail: fmartin@eui.upm.es
página web: http://www.webpgomez.com
1. Introducción
Ritmos africanos de campanas, escalas musicales de estilos diversos, fisión nuclear en aceleradores de neutrones en física, sucesiones lineales en matemáticas, palabras mecánicas y teoría de cadenas en informática, dibujo de rectas digitales en gráficos por ordenador, cálculo de años bisiestos en diseño de calendarios y, por último, aquel antiguo procedimiento de cálculo del máximo común divisor (divide mientras puedas), descubierto por Euclides, el insigne geómetra... todos estos conceptos, dispares y variopintos, ¿qué tienen en común? Una respuesta breve es: todos, de una u otra manera, poseen patrones distribuidos lo más regularmente posible. Para una respuesta más detallada a esta intrigante pregunta, siga leyendo el amable lector.
Varios investigadores de la música han observado que hay una tendencia a encontrar patrones distribuidos lo más regular o uniformemente posible. Tomemos como ejemplo el ritmo. Un ritmo está compuesto por pulsos de igual duración. En cada pulso puede haber una nota, a la cual designaremos por [x], o un silencio, que denotaremos por [ • ]. Así, por ejemplo, el ritmo de palmas de la sevillana se puede notar como [x • • x • • x • • x • • ]. Salta a la vista que sus 4 notas están distribuidas muy regularmente en los 12 pulsos de que consta el ritmo; de hecho, están distribuidas de la manera más regular posible. Por el contrario, el ritmo [x x x x • • • • • • • • ] no tiene las notas distribuidas regularmente, sino más bien amontonadas.
En los ritmos de la música tradicional del mundo, especialmente en la no occidental, esta distribución de notas con regularidad máxima es muy frecuente. ¿Por qué esos ritmos muestran tal preferencia? Primero hay que decir que muchos de los ritmos con distribución regular de notas pertenecen a la categoría de las claves. En muchas de esas tradiciones musicales hay un ritmo que se repite invariablemente, llamado clave, y que sirve como referencia rítmica y métrica, muchas veces incluso de referencia estructural. Ese ritmo suele tener una estructura de pregunta-respuesta. La pregunta rítmica se plantea creando tensión rítmica y la respuesta relajando dicha tensión. Los ritmos de regularidad máxima tienden a crear tensión rítmica, sobre todo si el número de notas y el número de pulsos son primos entre sí (no tienen divisores comunes salvo el 1). En este caso las notas “contradicen” las notas que se esperan a partir del número total de pulsos. Consideremos, por ejemplo, el ritmo [x • • x • • x • ]. Tiene 8 pulsos y 3 notas y observamos que 3 y 8 son primos entre sí. Por ser 8 divisible por 2 y 4, las notas sobre múltiplos de 2 y 4 se perciben como estables. Sin embargo, este ritmo tiene notas en 0, 3 y 7. Al tocar ese ritmo se percibe una superposición de un ritmo ternario, las tres notas del ritmo, sobre un ritmo binario, la estructura binaria de los pulsos. Todo ello, ciertamente crea tensión rítmica.
Demain y otros colegas, autores del trabajo The Distance Geometry of Music [DGM+09], investigaron la relación entre la distribución de regularidad máxima de patrones y otras disciplinas, con especial énfasis en el ritmo musical.
2. Euclides y la regularidad máxima en varias disciplinas
¿Recuerda el lector, ejem, de cierta edad, de su más tierna infancia el cálculo del máximo común divisor? Probablemente, le suene un método para calcularlo en que había de realizar muchas divisiones. Era el llamado algoritmo (o método) de Euclides (importante matemático griego que vivió alrededor del 300 a.C., autor de los Elementos). Sorprendentemente, los ritmos de máxima regularidad de que hablamos se pueden generar con el viejo algoritmo de Euclides. Veamos cómo.
2.1. El algoritmo de Euclides
El algoritmo de Euclides consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a > b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. En efecto, cuando dividimos a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que:
a = c • b + r.
Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo también de r. En particular, el m.c.d. de a y b es el m.c.d. de b y r.
Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 • 2 + 3, entonces el m.c.d.(17,7) es igual al m.c.d.(7,3). De nuevo, como 7 = 3 • 2 + 1, entonces el m.c.d.(7,3) es igual al m.c.d.(3,1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, el m.c.d entre 17 y 7 es 1 también.
2.2. Ritmos euclídeos
¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima?
Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas en los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la Figura 1. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la Figura 1 paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [10] (en columnas en el paso (2) de la figura). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo véase el paso (3) de la Figura nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (Figura 1 paso (4)). Procedemos así hasta que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)).
Figura 1. Generación de ritmos euclídeos.
Aquí cada 1 representa una nota [x] y cada 0, un silencio [ • ]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [x • • x • x • • x • x • • x • x • ].
Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k, n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. Así, por ejemplo, el ritmo de la sevillana [x • • x • • x • • x • • ] se puede escribir como (3333), donde cada 3 indica que dura tres pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7, 17) = [x • • x • x • • x • x • • x • x • ] = (3232322).
Demain y sus coautores [DGM+09] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Suponemos que si Euclides lo supiese... estaría muy orgulloso. Quizás nos oye desde su tumba y está sonriéndose ahora.
Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo.
• E(5, 8) = [x • x x • x x • ] = (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yon. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango.
• E(5, 12) = [x • • x • x • • x • x • ] = (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya.
• E(5, 16) =[x • • x • • x • • x • • x • • • ] = (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota.
Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides.
2.3. Los sistemas de sincronización en los aceleradores de neutrones
En las líneas anteriores hemos planteado el problema de distribuir notas en un número dado de pulsos de la manera más regular posible. Bjorkland, del Laboratorio de los Álamos en Estados Unidos, se encontró con un problema similar, aunque en un contexto diferente. Bjorklund tenía un sistema de sincronización que activaba una serie de puertas a lo largo de un periodo fijo de tiempo [Bjor03] compuesto de n intervalos (cada intervalo tenía 10 segundos). Las puertas, a su vez, controlaban el voltaje en un acelerador de neutrones. Cada puerta puede activarse durante cualquier periodo de tiempo dentro de los n intervalos. El problema era activar las puertas dentro de los n intervalos de tiempo de la manera más regular posible. Bjorklund lo consiguió imitando el comportamiento del algoritmo de Euclides.
2.4. El dibujo de rectas digitales
Los ritmos euclídeos y los patrones distribuidos regularmente también aparecen en gráficos por ordenador [KR04]. El problema aquí es convertir una recta descrita matemáticamente por dos puntos en el plano a una sucesión de píxeles (elementos de pantalla) que representen lo más fielmente posible dicha recta. El conocido algoritmo de Bresenham se usa para dibujar esas rectas digitales. Dicho algoritmo calcula qué píxeles interseca la recta, y esos son los que aparecen iluminados. Curiosamente, los píxeles de la recta se pueden generar como si fueran un ritmo euclídeo.
En la Figura 2 tenemos un segmento de recta entre los puntos (0,0) y (16,5). La pantalla, como sabemos, es una retícula formada por cuadrados de lado un píxel. Los píxeles sobre los que pasa la recta se iluminan, en azul en la Figura 2. Si examinamos el patrón de píxeles iluminados por debajo de la recta, vemos que se trata de (43333), que es el ritmo euclídeo E(5,16) = [x • • • x • • x • • x • • ]. En cambio, los píxeles iluminados por encima de la recta dan el patrón (33334), que es una rotación de E(5, 16).
Figura 2. Ritmos euclídeos y dibujo de rectas digitales.
2.5. El cálculo de años bisiestos
Durante cientos de años el ser humano ha observado y medido el tiempo que media entre dos puestas de sol (el día) y entre dos estaciones consecutivas (el año). Como explica Marcia Ascher, profesora emérita de la Universidad de Ítaca (Nueva York), estos sucesos naturales han guiado el diseño de calendarios en diversas culturas [Asch02]. Llamemos A a la duración de una revolución completa de la Tierra alrededor del Sol, comúnmente conocida como un año. Designemos por D la duración de la rotación de la Tierra sobre sí misma, también conocida por un día. Estas dos duraciones no son constantes, cambian con el tiempo debido a causas físicas. No obstante, el cociente A/D se puede tomar como 365,242199..., aproximadamente. Por tanto, parece conveniente hacer que un año tenga 365 días. El problema de despreciar la parte decimal de ese cociente, un mísero 0,242199..., surge cuando ese error se acumula a lo largo del tiempo y entonces se convierte en una cantidad de tiempo más que apreciable. El calendario juliano, así llamado en honor a Julio César, soluciona este problema de un modo simple: añade un día cada cuatro años, pues 0,242199•4 = 0,968796 1. Un año con un día de más se llama un año bisiesto en este calendario. El calendario juliano todavía introduce errores significativos. Establece que el año tenga 365,25 días y esto produce un error menor que el puro truncamiento (0,25 − 0,242199 = 0,007801), aunque por exceso. El calendario gregoriano se introdujo para evitar ese redondeo por exceso. En el calendario gregoriano un año bisiesto se define como un año divisible por 4, excepto aquellos no divisibles por 100 y aquellos no divisibles por 400. Con esta regla un año bisiesto dura 365 + 1/4 − 1/110 − 1/400 = 365,2425, una aproximación mucho mejor a la verdadera longitud del año.
Otra solución la brinda el calendario hebreo, el cual usa la idea de ciclos (aquí es donde entran los patrones distribuidos regularmente). Un año regular tiene 12 meses y un año bisiesto, 13 meses. El ciclo tiene 19 años que incluye 7 años bisiestos. Los 7 años bisiestos hay que distribuirlos lo más regularmente posible en el ciclo de 19 años. Si el resto de dividir un año de un ciclo es 3, 6, 8, 11, 14, 17 ó 19, entonces es un año bisiesto. El año 2009, que es el 5770 en el calendario hebreo, no es bisiesto porque 5770 = 303 • 19 + 13, pero el año 2010 sí lo será. La distribución de los años bisiestos en el ciclo se puede pensar como un ritmo euclídeo de 7 notas en 19 pulsos, esto es, E(7,19) = [x • • x • x • • x • • x • x • • x • • ]. Cuando se lee el ritmo a partir del séptimo pulso, se obtiene el patrón [ • • x • • x • x • • x • • x • • x • x ], que es exactamente el patrón del calendario hebreo (obsérvese las notas en las posiciones 3, 6, 8, 11, 14, 17 y 19).
3. Curiosidades de los ritmos euclídeos
Por falta de espacio, no hemos explorado las relaciones de los ritmos euclídeos en otros campos. Así, por ejemplo, los ritmos euclídeos en matemáticas aparecen en las sucesiones de Beatty, y en informática, dentro de la teoría de cadenas en relación con las palabras mecánicas y las cadenas euclídeas.
Los ritmos euclídeos, aparte de su gran ubicuidad, como hemos visto en las secciones anteriores, tienen propiedades interesantes por sí mismos. El lector habrá advertido que un ritmo euclídeo está compuesto por la repetición de un patrón, llamado el patrón principal, más posiblemente otro patrón, llamado la cola. Por ejemplo, el ritmo E(7, 17) = [x • • x • x • • x • x • • x • x • ] está formado por la repetición tres veces de [x • • x • ], el patrón principal, seguido de [x • ], la cola. Si E(k, n) es un ritmo euclídeo y k y n no son primos entre sí, entonces la cola es vacía. En caso contrario, la cola no es vacía. Gómez, Talaskian y Toussaint [GTT09a, GTT09b] probaron que el patrón principal y la cola son euclídeos también. Esto confiere a los ritmos euclídeos una fascinante propiedad de autosimilitud, la cual los relaciona profundamente con los fractales. Esos mismos autores investigaron las operaciones con ritmos euclídeos, tales como la concatenación, la sombra de un ritmo, el complementario (intercambiar notas y silencios en un ritmo euclídeo produce otro ritmo euclídeo) y la alternancia. También abordaron problemas sobre descomposición de un ritmo euclídeo en otros ritmos euclídeos y lo pusieron en relación con los ritmos entrelazados, esto es, conjuntos de ritmos que comparten ciertas notas.
4. Para saber más
Los resultados expuestos en este trabajo han sido obtenidos por Francisco Gómez y sus colegas. Para más información véanse los artículos [DGM+09, GTT09a y GTT09b].
Referencias
[Asch02] M. Ascher: Mathematics Elsewhere: An Exploration of Ideas Across Cultures. Princeton University Press, Princeton, 2002.
[Bjor03] E. Bjorklund: The theory of rep-rate pattern generation in the SNS timing system. SNS ASD Technical Note SNS-NOTE-CNTRL-99. Laboratorio Nacional de Los Álamos, Los Álamos, Estados Unidos, 2003.
[DGM+09] E.D. Demaine, F. Gómez Martín, F. Meijer, D. Rappaport, P. Taslakian, G.T. Toussaint, T. Winograd, D.R: Word: The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application 42 (2009), 429-454.
[GTT09a] F. Gómez, P. Talaskian, G.T. Toussaint: Structural Properties of Euclidean Rhythms. Journal of Mathematics and Music 3, no. 1 (2009), 1-14.
[GTT09b] F. Gómez, P. Talaskian, G.T. Toussaint: Interlocking and Euclidean Rhythms. Journal of Mathematics and Music 3, no. 1 (2009), 15-30.
[KR04] R. Klette, A. Rosenfeld: Digital straightness - a review. Discrete Applied Mathematics 139 (2004), 197-230.
Sobre el autor
Francisco Gómez Martín realizó su tesis en Geometría Computacional bajo la dirección de Godfried Toussaint, de McGill University (Montreal). Tras su tesis obtuvo una plaza de profesor en la Escuela Universitaria de Informática (Universidad Politécnica de Madrid). Desde 1996 hasta 2003 sus principales campos de investigación fueron la Geometría Computacional, la Computación Gráfica y la Localización de Servicios. Movido por la que siempre fue una de sus más profundas pasiones, la música, cambió radicalmente de campo de investigación en 2003. Desde entonces hace exclusivamente investigación sobre la relación entre música, matemáticas y computación. Sus principales proyectos de investigación comprenden similitud rítmica y melódica, tanto en modelos abstractos como aplicados a géneros concretos como el flamenco o la música afrocubana, las medidas de síncopas, las transformaciones rítmicas, la evolución de estilos o los ritmos euclídeos. Es miembro del Centre for Interdisciplinary Research on Music and Multimedia Technology (CIRMMT), dependiente de McGill University.
Patrones de regularidad máxima en música, geometría, informática y otras disciplinas
Francisco Gómez Martín
Escuela Universitaria de Informática
Universidad Politécnica de Madrid
e-mail: fmartin@eui.upm.es
página web: http://www.webpgomez.com
1. Introducción
Ritmos africanos de campanas, escalas musicales de estilos diversos, fisión nuclear en aceleradores de neutrones en física, sucesiones lineales en matemáticas, palabras mecánicas y teoría de cadenas en informática, dibujo de rectas digitales en gráficos por ordenador, cálculo de años bisiestos en diseño de calendarios y, por último, aquel antiguo procedimiento de cálculo del máximo común divisor (divide mientras puedas), descubierto por Euclides, el insigne geómetra... todos estos conceptos, dispares y variopintos, ¿qué tienen en común? Una respuesta breve es: todos, de una u otra manera, poseen patrones distribuidos lo más regularmente posible. Para una respuesta más detallada a esta intrigante pregunta, siga leyendo el amable lector.
Varios investigadores de la música han observado que hay una tendencia a encontrar patrones distribuidos lo más regular o uniformemente posible. Tomemos como ejemplo el ritmo. Un ritmo está compuesto por pulsos de igual duración. En cada pulso puede haber una nota, a la cual designaremos por [x], o un silencio, que denotaremos por [ • ]. Así, por ejemplo, el ritmo de palmas de la sevillana se puede notar como [x • • x • • x • • x • • ]. Salta a la vista que sus 4 notas están distribuidas muy regularmente en los 12 pulsos de que consta el ritmo; de hecho, están distribuidas de la manera más regular posible. Por el contrario, el ritmo [x x x x • • • • • • • • ] no tiene las notas distribuidas regularmente, sino más bien amontonadas.
En los ritmos de la música tradicional del mundo, especialmente en la no occidental, esta distribución de notas con regularidad máxima es muy frecuente. ¿Por qué esos ritmos muestran tal preferencia? Primero hay que decir que muchos de los ritmos con distribución regular de notas pertenecen a la categoría de las claves. En muchas de esas tradiciones musicales hay un ritmo que se repite invariablemente, llamado clave, y que sirve como referencia rítmica y métrica, muchas veces incluso de referencia estructural. Ese ritmo suele tener una estructura de pregunta-respuesta. La pregunta rítmica se plantea creando tensión rítmica y la respuesta relajando dicha tensión. Los ritmos de regularidad máxima tienden a crear tensión rítmica, sobre todo si el número de notas y el número de pulsos son primos entre sí (no tienen divisores comunes salvo el 1). En este caso las notas “contradicen” las notas que se esperan a partir del número total de pulsos. Consideremos, por ejemplo, el ritmo [x • • x • • x • ]. Tiene 8 pulsos y 3 notas y observamos que 3 y 8 son primos entre sí. Por ser 8 divisible por 2 y 4, las notas sobre múltiplos de 2 y 4 se perciben como estables. Sin embargo, este ritmo tiene notas en 0, 3 y 7. Al tocar ese ritmo se percibe una superposición de un ritmo ternario, las tres notas del ritmo, sobre un ritmo binario, la estructura binaria de los pulsos. Todo ello, ciertamente crea tensión rítmica.
Demain y otros colegas, autores del trabajo The Distance Geometry of Music [DGM+09], investigaron la relación entre la distribución de regularidad máxima de patrones y otras disciplinas, con especial énfasis en el ritmo musical.
2. Euclides y la regularidad máxima en varias disciplinas
¿Recuerda el lector, ejem, de cierta edad, de su más tierna infancia el cálculo del máximo común divisor? Probablemente, le suene un método para calcularlo en que había de realizar muchas divisiones. Era el llamado algoritmo (o método) de Euclides (importante matemático griego que vivió alrededor del 300 a.C., autor de los Elementos). Sorprendentemente, los ritmos de máxima regularidad de que hablamos se pueden generar con el viejo algoritmo de Euclides. Veamos cómo.
2.1. El algoritmo de Euclides
El algoritmo de Euclides consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a > b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. En efecto, cuando dividimos a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que:
a = c • b + r.
Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo también de r. En particular, el m.c.d. de a y b es el m.c.d. de b y r.
Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 • 2 + 3, entonces el m.c.d.(17,7) es igual al m.c.d.(7,3). De nuevo, como 7 = 3 • 2 + 1, entonces el m.c.d.(7,3) es igual al m.c.d.(3,1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, el m.c.d entre 17 y 7 es 1 también.
2.2. Ritmos euclídeos
¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima?
Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas en los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la Figura 1. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la Figura 1 paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [10] (en columnas en el paso (2) de la figura). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo véase el paso (3) de la Figura nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (Figura 1 paso (4)). Procedemos así hasta que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)).
Figura 1. Generación de ritmos euclídeos.
Aquí cada 1 representa una nota [x] y cada 0, un silencio [ • ]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [x • • x • x • • x • x • • x • x • ].
Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k, n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. Así, por ejemplo, el ritmo de la sevillana [x • • x • • x • • x • • ] se puede escribir como (3333), donde cada 3 indica que dura tres pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7, 17) = [x • • x • x • • x • x • • x • x • ] = (3232322).
Demain y sus coautores [DGM+09] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Suponemos que si Euclides lo supiese... estaría muy orgulloso. Quizás nos oye desde su tumba y está sonriéndose ahora.
Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo.
• E(5, 8) = [x • x x • x x • ] = (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yon. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango.
• E(5, 12) = [x • • x • x • • x • x • ] = (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya.
• E(5, 16) =[x • • x • • x • • x • • x • • • ] = (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota.
Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides.
2.3. Los sistemas de sincronización en los aceleradores de neutrones
En las líneas anteriores hemos planteado el problema de distribuir notas en un número dado de pulsos de la manera más regular posible. Bjorkland, del Laboratorio de los Álamos en Estados Unidos, se encontró con un problema similar, aunque en un contexto diferente. Bjorklund tenía un sistema de sincronización que activaba una serie de puertas a lo largo de un periodo fijo de tiempo [Bjor03] compuesto de n intervalos (cada intervalo tenía 10 segundos). Las puertas, a su vez, controlaban el voltaje en un acelerador de neutrones. Cada puerta puede activarse durante cualquier periodo de tiempo dentro de los n intervalos. El problema era activar las puertas dentro de los n intervalos de tiempo de la manera más regular posible. Bjorklund lo consiguió imitando el comportamiento del algoritmo de Euclides.
2.4. El dibujo de rectas digitales
Los ritmos euclídeos y los patrones distribuidos regularmente también aparecen en gráficos por ordenador [KR04]. El problema aquí es convertir una recta descrita matemáticamente por dos puntos en el plano a una sucesión de píxeles (elementos de pantalla) que representen lo más fielmente posible dicha recta. El conocido algoritmo de Bresenham se usa para dibujar esas rectas digitales. Dicho algoritmo calcula qué píxeles interseca la recta, y esos son los que aparecen iluminados. Curiosamente, los píxeles de la recta se pueden generar como si fueran un ritmo euclídeo.
En la Figura 2 tenemos un segmento de recta entre los puntos (0,0) y (16,5). La pantalla, como sabemos, es una retícula formada por cuadrados de lado un píxel. Los píxeles sobre los que pasa la recta se iluminan, en azul en la Figura 2. Si examinamos el patrón de píxeles iluminados por debajo de la recta, vemos que se trata de (43333), que es el ritmo euclídeo E(5,16) = [x • • • x • • x • • x • • ]. En cambio, los píxeles iluminados por encima de la recta dan el patrón (33334), que es una rotación de E(5, 16).
Figura 2. Ritmos euclídeos y dibujo de rectas digitales.
2.5. El cálculo de años bisiestos
Durante cientos de años el ser humano ha observado y medido el tiempo que media entre dos puestas de sol (el día) y entre dos estaciones consecutivas (el año). Como explica Marcia Ascher, profesora emérita de la Universidad de Ítaca (Nueva York), estos sucesos naturales han guiado el diseño de calendarios en diversas culturas [Asch02]. Llamemos A a la duración de una revolución completa de la Tierra alrededor del Sol, comúnmente conocida como un año. Designemos por D la duración de la rotación de la Tierra sobre sí misma, también conocida por un día. Estas dos duraciones no son constantes, cambian con el tiempo debido a causas físicas. No obstante, el cociente A/D se puede tomar como 365,242199..., aproximadamente. Por tanto, parece conveniente hacer que un año tenga 365 días. El problema de despreciar la parte decimal de ese cociente, un mísero 0,242199..., surge cuando ese error se acumula a lo largo del tiempo y entonces se convierte en una cantidad de tiempo más que apreciable. El calendario juliano, así llamado en honor a Julio César, soluciona este problema de un modo simple: añade un día cada cuatro años, pues 0,242199•4 = 0,968796 1. Un año con un día de más se llama un año bisiesto en este calendario. El calendario juliano todavía introduce errores significativos. Establece que el año tenga 365,25 días y esto produce un error menor que el puro truncamiento (0,25 − 0,242199 = 0,007801), aunque por exceso. El calendario gregoriano se introdujo para evitar ese redondeo por exceso. En el calendario gregoriano un año bisiesto se define como un año divisible por 4, excepto aquellos no divisibles por 100 y aquellos no divisibles por 400. Con esta regla un año bisiesto dura 365 + 1/4 − 1/110 − 1/400 = 365,2425, una aproximación mucho mejor a la verdadera longitud del año.
Otra solución la brinda el calendario hebreo, el cual usa la idea de ciclos (aquí es donde entran los patrones distribuidos regularmente). Un año regular tiene 12 meses y un año bisiesto, 13 meses. El ciclo tiene 19 años que incluye 7 años bisiestos. Los 7 años bisiestos hay que distribuirlos lo más regularmente posible en el ciclo de 19 años. Si el resto de dividir un año de un ciclo es 3, 6, 8, 11, 14, 17 ó 19, entonces es un año bisiesto. El año 2009, que es el 5770 en el calendario hebreo, no es bisiesto porque 5770 = 303 • 19 + 13, pero el año 2010 sí lo será. La distribución de los años bisiestos en el ciclo se puede pensar como un ritmo euclídeo de 7 notas en 19 pulsos, esto es, E(7,19) = [x • • x • x • • x • • x • x • • x • • ]. Cuando se lee el ritmo a partir del séptimo pulso, se obtiene el patrón [ • • x • • x • x • • x • • x • • x • x ], que es exactamente el patrón del calendario hebreo (obsérvese las notas en las posiciones 3, 6, 8, 11, 14, 17 y 19).
3. Curiosidades de los ritmos euclídeos
Por falta de espacio, no hemos explorado las relaciones de los ritmos euclídeos en otros campos. Así, por ejemplo, los ritmos euclídeos en matemáticas aparecen en las sucesiones de Beatty, y en informática, dentro de la teoría de cadenas en relación con las palabras mecánicas y las cadenas euclídeas.
Los ritmos euclídeos, aparte de su gran ubicuidad, como hemos visto en las secciones anteriores, tienen propiedades interesantes por sí mismos. El lector habrá advertido que un ritmo euclídeo está compuesto por la repetición de un patrón, llamado el patrón principal, más posiblemente otro patrón, llamado la cola. Por ejemplo, el ritmo E(7, 17) = [x • • x • x • • x • x • • x • x • ] está formado por la repetición tres veces de [x • • x • ], el patrón principal, seguido de [x • ], la cola. Si E(k, n) es un ritmo euclídeo y k y n no son primos entre sí, entonces la cola es vacía. En caso contrario, la cola no es vacía. Gómez, Talaskian y Toussaint [GTT09a, GTT09b] probaron que el patrón principal y la cola son euclídeos también. Esto confiere a los ritmos euclídeos una fascinante propiedad de autosimilitud, la cual los relaciona profundamente con los fractales. Esos mismos autores investigaron las operaciones con ritmos euclídeos, tales como la concatenación, la sombra de un ritmo, el complementario (intercambiar notas y silencios en un ritmo euclídeo produce otro ritmo euclídeo) y la alternancia. También abordaron problemas sobre descomposición de un ritmo euclídeo en otros ritmos euclídeos y lo pusieron en relación con los ritmos entrelazados, esto es, conjuntos de ritmos que comparten ciertas notas.
4. Para saber más
Los resultados expuestos en este trabajo han sido obtenidos por Francisco Gómez y sus colegas. Para más información véanse los artículos [DGM+09, GTT09a y GTT09b].
Referencias
[Asch02] M. Ascher: Mathematics Elsewhere: An Exploration of Ideas Across Cultures. Princeton University Press, Princeton, 2002.
[Bjor03] E. Bjorklund: The theory of rep-rate pattern generation in the SNS timing system. SNS ASD Technical Note SNS-NOTE-CNTRL-99. Laboratorio Nacional de Los Álamos, Los Álamos, Estados Unidos, 2003.
[DGM+09] E.D. Demaine, F. Gómez Martín, F. Meijer, D. Rappaport, P. Taslakian, G.T. Toussaint, T. Winograd, D.R: Word: The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application 42 (2009), 429-454.
[GTT09a] F. Gómez, P. Talaskian, G.T. Toussaint: Structural Properties of Euclidean Rhythms. Journal of Mathematics and Music 3, no. 1 (2009), 1-14.
[GTT09b] F. Gómez, P. Talaskian, G.T. Toussaint: Interlocking and Euclidean Rhythms. Journal of Mathematics and Music 3, no. 1 (2009), 15-30.
[KR04] R. Klette, A. Rosenfeld: Digital straightness - a review. Discrete Applied Mathematics 139 (2004), 197-230.
Sobre el autor
Francisco Gómez Martín realizó su tesis en Geometría Computacional bajo la dirección de Godfried Toussaint, de McGill University (Montreal). Tras su tesis obtuvo una plaza de profesor en la Escuela Universitaria de Informática (Universidad Politécnica de Madrid). Desde 1996 hasta 2003 sus principales campos de investigación fueron la Geometría Computacional, la Computación Gráfica y la Localización de Servicios. Movido por la que siempre fue una de sus más profundas pasiones, la música, cambió radicalmente de campo de investigación en 2003. Desde entonces hace exclusivamente investigación sobre la relación entre música, matemáticas y computación. Sus principales proyectos de investigación comprenden similitud rítmica y melódica, tanto en modelos abstractos como aplicados a géneros concretos como el flamenco o la música afrocubana, las medidas de síncopas, las transformaciones rítmicas, la evolución de estilos o los ritmos euclídeos. Es miembro del Centre for Interdisciplinary Research on Music and Multimedia Technology (CIRMMT), dependiente de McGill University.
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